terça-feira, 3 de maio de 2016

Taxa de juros compostos: taxa que eu quero x taxa que eu tenho

   
Diferentemente dos juros no regime de capitalização simples, em compostos temos um prazo exponencial, o que torna os cálculos mais complexos, a tal ponto que torna-se inviável o cálculo na mão ou com aquelas calculadorazinhas simples principalmente quando a taxa dada nos problemas, financiamentos ou empréstimos não é real. Nesta postagem mostraremos alguns cálculos com taxa de juros compostos, com exercícios resolvidos a a conhecida fórmula do i que eu quero e i que eu tenho.

 Isolando-se o i da fórmula do montante temos a expressão que calcula a taxa cobrada no regime de juros compostos:

Equação 1; taxa nos juros compostos
Exemplo:
Supondo-se ter 10 mil reais num investimento num banco e 20 mil em outro, respectivamente com taxas médias de 1,2 % e 1 % ao mês por 12 meses. Supondo ainda que o total dos mon­tantes dos dois investimentos fosse aplicado num terceiro banco por dois anos para se obter R$ 50.000,00, qual taxa seria necessária?
Em primeiro lugar, para descobrir que taxa é essa devemos descobrir antes de tudo o mon­tante de cada um dos dois primeiros bancos. Assim:
BANCO 1
C = R$10.000,00
  • n = 12 meses
  • i = 1,2 % ao mês = 0, 012 ao mês
  • M ==? Reais
  • M = C x (1 + i) n → M = 10000 x (1 + 0, 012) 12 → M = R$ 11.538,95
  • BANCO 2
  • C = R$ 20.000
  • n = 12 meses
  • i = 1 % ao mês
  • M ==? Reais
  • M = C x (1 + i) n → M = 20000 x (1 + 0,01) 12 → M = R$ 22.536,50
Apenas olhando os resultados podemos notar um erro nesses investimentos. O valor maior de capital foi aplicado no banco que rendeu menos. Se fosse ao contrário, no banco 1 e no banco 2 o montante total alcançaria R$ 34.346,14, resultando em 270 reais a mais que em nosso exemplo, que chegou à R$ 34.075,45. Apesar de ser menor, usando o valor de R$ 34.075,45 como se fosse um novo capital para o banco 3 para chegar ao montante de 50 mil reais em dois anos temos a seguinte apli­cação da fórmula:
i = (M / C)1/n - 1 → i = (50000 / 34075,45)1/24→ i = 1,61 % AM
Pela resposta podemos ver claramente o feito multiplicador do coeficiente (1 + i) n, fazendo com que o capital aumentasse quase 50 % em dois anos, ao passo que na simples a taxa necessária seria de 2 % ao mês ou ainda, um prazo de 29 meses.
Na capitalização simples alertamos que a transformação da taxa para se adequar ao período era permitida apenas naquele sistema. Veremos neste tópico que a taxa pode ser transformada tam­bém na capitalização composta, mas, envolve mais raciocínio do que as continhas de multiplicação e divisão.
Começaremos, inicialmente, pela classificação das taxas.
  • 1 – Taxa nominal e taxa efetiva: a taxa nominal é aquela que geralmente nos é apresentada nos contratos e anunciada nas ofertas de crédito. Logicamente que para atrair clientes nem sempre corresponde ao que efetivamente será pago que é a taxa efetiva.
  • 2 – Taxa equivalente e proporcional: a conversão da taxa para as pessoas mais humildes é ge­ralmente pela forma da capitalização simples. Contas como dividir 24 % ao ano por 12 meses para se achar 2 % ao mês segue a proporção, disso o nome de taxa proporciona. Na equivalente podemos conseguir o mesmo valor de montante com taxas diferentes, o que não ocorre na capitalização sim­ples.
  • 3 – Taxa real: é a taxa que comumente é calculada a partir da taxa nominal descontando a in­flação.

Taxa Equivalente
A taxa de um contrato se não for a que realmente é paga consistirá em uma taxa nominal e que será equivalente à outra com período diferente de capitalização.
Exemplo:
Se num contrato de financiamento qualquer há expressado em suas cláusulas que será co­brada taxa de 24 % ao ano com o prazo de um ano qual seria a taxa do mesmo financiamento para um mês?
Buscando o raciocínio proporcional, o cálculo seria obtido simplesmente dividindo-se o total ao ano por 12, chegando à taxa de 2 % ao mês. Porém, para o cálculo da taxa mensal utiliza o concito da taxa equivalente, uma vez que estamos trabalhando com a capitalização composta. Para tanto, devemos estabelecer esta relação:

24 % ao ano e 1 ano = % ao mês (12 meses) e não mês (12 meses)
Desta relação temos a seguinte expressão:
Equação 2: Taxa equivalente no regime composto
Sendo que:
  • I. Q.: a taxa que queremos achar;
  • It: a taxa que temos no contrato;
  • Nq: o número de períodos que queremos e
  • NT: o período expresso no contrato.
Logo, substituindo os dados na fórmula:
I. q. = (1 + it) nq/nt - 1 → I q = (1 + 0, 24)1/12 - 1 →I q = 1, 81 % a.m.
Exemplo:
Qual a taxa equivalente ao ano de uma taxa de empréstimo imobiliário de 6 % ao ano “com capitalização mensal”?
Parece bem complexo e até repetitivo este enunciado, afinal pede uma taxa anual de outra anual. Vejamos a resolução:
Dados
Taxa do contrato: 6 % ao ano capitalizado mensalmente
1 – Obtendo a taxa efetiva mensal
Como é capitalização mensal devemos entender que a cada período de um mês ocorre capi­talização. Deste modo, usando a taxa proporcional e encontraremos a taxa efetiva mensal:
6 %ao ano / 12 = 0,5 % ao mês
2 – Obtendo a taxa anual equivalente à taxa de 6 %ao ano
A taxa de 0,5 % ao mês é capitalizada todo mês e gera um montante que pode se obtido com uma taxa anual, mas esta anual não é a fornecida de 6 % ao ano. Logo:
  • It = 0,5 % AM (proporcional = capitalização simples)
  • NT = 1 mês
  • Nq = 1 ano = 12 meses
  • Iq ==? % ao ano
  • i q = (1 + it) nq/NT - 1 → i q = (1 + 0, 005)12/1 - 1 → i q = 6,17 % a.a.
  • A taxa de 6 % ao ano é equivalente à taxa efetivamente cobrada de 6,17 % ao ano, maior que no contra­to.
b) Taxa Real
A taxa real é aquela calculada a partia\r da nominal descontada a inflação, utilizada em in­vestimentos. Por exemplo, se um investimento tem taxa de rendimento de 15 % ao ano devemos considerar que este rendimento é menor, uma vez que provavelmente ocorre inflação no período. Logo a taxa nominal representa a soma das taxas real e de inflação:
Taxa nominal = taxa real + taxa de inflação
(taxa n + 1) = (taxa r + 1) x (taxa I + 1) → taxa r = (taxa n + 1) – 1 /
(taxa I + 1)
Exemplo:
Um pai quer guardar no banco o valor de 10 mil reais em uma aplicação que rende em média 1,5 % ao mês, por dez anos, o objetivo é ter no futuro 30 mil reais para abrir um laboratório para o fi­lho. Sabendo que os equipamentos variam conforme o IGP-M mensal de 0,7 % nos últimos 5 anos, é possível alcançar este projeto?
Usando a fórmula da taxa real resolveremos a primeira parte do problema: o rendimento real.
(taxa n + 1) = (taxa r + 1) x (taxa I + 1) → ir = [(1r + 1) / (iI + 1)] – 1 → ir = [(0, 015 + 1) / (0, 007 + 1) – 1 → ir = 0, 7944389 % AM
E com esta taxa aplicamos a fórmula do montante:
M = C x (1 + i) n → M = 1000 x (1 + 0, 0079) 120 → M = R$ 25.845,72
Ou seja, pela taxa real achamos o valor que será obtido, mas, que não será igual aos R$ 30.000 necessários. Contudo, por outras fórmulas podemos obter uma solução mais precisa, calcu­lando se o investimento dado é suficiente:
1 – Valor da aplicação
M = C x (1 + i) n → M = 10000 x (1 + 0, 015) 120 → M = R$ 59.693,23
2 – Valores do escritório com a inflação
M = C x (1 + i) n → M = 30000 x (1 + 0, 007) 120 → M = R$ 69.287,95
Logo, embora a aplicação renda um montante de R$ 59.693,23, o escritório que seria de 30 mil reais terá um valor superior, de R$ 69.287,95, mais que o dobro e com quase dez mil reais a mais que a aplicação.


      Cálculo do prazo

O número de períodos de capitalização pode ser obtido pela calculadora financeira de forma direta. Porém, se o resultado tiver um mínimo número após a vírgula o período é arredondado. O to­tal exato pode ser resolvido por uma fórmula, mas, há a necessidade da função LN – Logaritmo Ne­perino. Assim:
Equação 3: Prazo no regime composto
Exemplo:
Qual o período em meses para que um capital de R$ 5.000 aplicados a uma taxa de 1,3 % AM causa o montante de R$ 10.000? Simplesmente aplicando os dados à fórmula temos:
n = [LN (M) – LN (C)] / LN (1 + i)→
→ n = [LN (10000) – LN (5000)] / LN (1 + 0, 013) →
→ n = [9, 2103 – 8, 5172] / 0, 0129→
→ n = 53,66 meses

      Série de Pagamentos Iguais Postecipados

Considerando que o valor à vista é sempre chamado de capital “C” em Gestão Financeira ve­remos neste tópico a série de pagamentos iguais “R” e por meio desta como o ato de pagar na hora da compra compensa.
Vejamos as fórmulas de compras a prazo:
Cálculo do capital financiado:
Equação 4:  Cálculo do capital financiado
Cálculo do montante no investimento:
Equação 5:  Cálculo do montante no investimento
Cálculo do montante no financiamento:
Equação 6: Cálculo do montante no financiamento
Cálculo do valor das parcelas:
Equação 7: Cálculo do valor das parcelas
Cálculo do número de parcelas:
Equação 8: Cálculo do número de parcelas
Exemplo 1: Cálculo do valor financiado
Um equipamento cujo valor à vista é de 25 mil reais é financiado à taxa de 12 % ao ano com capitalização mensal, por um ano. Qual o valor que deve ser dado de entrada para que o valor de cada prestação não ultrapasse R$ 1.700,00?
Dados:
  • C ==?
  • i = 12 % a.a.
  • n = 12 meses
  • Valor à vista = R$ 1.700,00
Resolução
1 – Cálculo da taxa efetiva:
12% ao ano / 12 meses = 1 % AM = 0,01 AM
2 – Cálculo do valor efetivamente financiado:
C = R x [(1 + i)n – 1] / [(1 + i)n x i] →
→ C = 1700 x [(1 + 0,01)12 – 1] / [(1 + 0,01)12 x 0,01]→
→C = R$ 19.133,63
3 – Cálculo do valor a ser pago de entrada:
25000 – 19133,63 = R$ 5.866,37
O equipamento é pago com R$ 5.866,37, no ato e a título de entrada, o que faz com que o capital realmente financiado baixe de R$ 25.000,00 para R$ 19.133,00 e deixe cada parcela igual a R$ 1.700,00.


Exemplo 2: Cálculo do montante em investimentos
Um senhor quer contribuir junto ao INSS para ter aposentadoria por toda a velhice. Pelas re­gras o prazo mínimo para contribuir é de 35 anos e o valor devido a sua renda de R$ 2.894,28 deve ser de 11 %. Qual montante teria se aplicasse este mesmo valor na poupança tradicional?
Dados:
  • i = 0,5 % AM + TR de 0,15 % AM = 0,65 %AM
  • n = 35 anos = 420 meses
  • R ==?
  • M ==?
Resolução
1 – Cálculo do valor da parcela R:
Renda
Alíquota
Contribuição
2894,28
11%
289, 428

2 – Cálculo do montante:
M = R x [(1 + i)n – 1] / i →
→ M = 318,37 x [(1 + 0, 0065)420 – 1] / 0, 0065→
→ M = R$ 695.421,21
Logo, aplicando por 35 anos na poupança este senhor teria o montante de R$695.421,21, que geraria, em média, o valor de R$ 1.655,76 por mês durante mais 35 anos.


Exemplo 3: Cálculo da parcela do financiamento
Um veículo que à vista custa R$ 20.000 reais é financiado em 100 % em 24 meses à taxa de 1,5 % ao mês. Qual é o valor da parcela? E em 36 meses?
Dados:
  • C = R$ 20.000,00
  • N1 = 24 meses
  • N2 = 36 meses
  • i = 0,5 % a m = 0, 015 ao mês
  • R ==?
Aplicando a fórmula temos:
R = C x [(1 + i)n x i] / [(1 + i)n – 1 →
→ R = 20000 x [(1 + 0, 015)24 x 0, 015] / [(1 + 0, 015)24 – 1 →
→ R = R$ 998, 48, para o plano de 24 meses.
E;
R = C x [(1 + i)n x i] / [(1 + i)n – 1 →
→ R = 20000 x [(1 + 0, 015)36 x 0, 015] / [(1 + 0, 015)36 – 1 →
→ R = R$ 723, 05, para o plano de 36 meses.
Exemplo 4: Cálculo do montante do financiamento:
Usando o exemplo anterior vamos calcular o montante por meio do raciocínio mais comum: número de parcelas vezes cada parcela.
Logo:
Para 24 parcelas
M = R x n → M = 948,48 x 24 → M = R$ 23.963,57
Para 36 parcelas
M = R x n → M = 723,05 x 36 → M = R$ 26.029,74
Observação: vimos claramente que com o aumento do número de parcelas o valor destas acaba diminuindo, porém, o total desembolsado aumenta.


Exemplo 5: Cálculo do número de parcelas
Uma família quer adquirir uma casa e paga aluguel de R$ 650,00 mensais. Se forem poupa­dos R$ 500,00 mensais numa aplicação que pague 1 % ao mês livre de taxas e impostos, em quanto tempo seria possível a compra da casa, que custa R$ 100.000,00?
Dados:
  • M = R$ 100.000,00
  • R = R$ 500,00
  • i = 1 % ao mês.
  • n==?
Resolução
n = LN {[(M x i) / R] + 1} / LN (1 + i)→
→n = LN {[(100000 x 0,01) / 500] + 1} / LN (1 + 0,01)→
→ n = 1, 0986 / 0, 00995→
→ n = 110, 4096 meses ou 9,2 anos

Poupando R$ 500,00 por pouco mais de nove anos teria dinheiro suficiente para comprar a casa, valor menor do que o do aluguel de R$ 650,00 todos os meses.