Na matéria anterior foram vistos os conceitos de matemática financeira e sua utilização com a calculadora financeira HP 12C. Todavia, visto que os conceitos vistos são continuamente abordados em processos seletivos destinados às áreas de administrativas e financeiras de órgãos públicos e nestes, é exigida a resolução das questões sem a utilização de qualquer máquina calculadora.
Por esta razão, como forma de complemento aos assuntos abordados tanto no curso de graduação em Ciências Contábeis quanto de Pós-Graduação é apresentada uma coletânea de questões vistas nos concursos públicos do banco do Brasil e da Caixa Econômica Federal.
O conteúdo apresentado neste capítulo é extraído de Apostilas de Matemática Financeira utilizadas como base para os exercícios a seguir encontra-se disponível no site www.casadoconcurseiro.com.br , sendo gratuitas e correspondem as matérias abordadas nos concursos dos bancos citados acima para os anos de 2012 a 2014.
Alguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira.
- Capital: Qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação financeira.
- Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo.
- Taxa de Juros: Unidade de medida do juro que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital, durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros. Observação: Em nosso curso usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos.
- Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros.
Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independe se estamos falando em capitalização simples ou capitalização composta).
- Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital.
- Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial e, o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização.
- Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior.
- Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou valor presente do título em questão.
Observação: lembrar que o VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) é a mesma coisa que VALOR NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independe se estamos falando em capitalização simples ou capitalização composta).
Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária , que é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira. Um bom exemplo de taxa é pensar em expressões, como 20% (vinte por cento), ou seja, esta taxa pode ser representada por uma fração, cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.
Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que se não sabemos o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação:
O produto valia 100% sofreu um aumento de 20%, logo está valendo 120% do seu valor inicial. Como foi visto no tópico anterior referente as taxas unitárias, pode-se calcular qual o fator para utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.
O Fator de capitalização Trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que se deseja utilizar. Assim se o produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo seu favor de capitalização por 1,2 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 60,00.
CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%
COMO CALCULAR:
- Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45
- Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2
ENTENDENDO O RESULTADO: Aumentar o preço do meu produto em 20% deve multiplicar por 1,2
Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00
COMO FAZER:
- Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = 130/100 = 1,3
- Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = 115/100 = 1,15
- Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = 103/100 = 1,03
- Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 300/100 = 3
Imagina-se que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto?
Claro que se não se conhece o valor inicial deste produto fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação: O produto valia 100% sofreu um desconto de 20%, logo está valendo 80% do seu valor inicial.
Como foi visto, pode-se calcular qual o fator para utilizar para calcular o novo preço deste produto, após o acréscimo.
Fator de Descapitalização = 80/100 = 0,8
O Fator de descapitalização trata-se de um número no qual devo multiplicar o meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que se quer utilizar.
Assim se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.
CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO
Basta subtrair o valor do desconto expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%
Calculando, tem-se:
- Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65
- Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8
Para calcularmos um desconto no preço do produto de 20% deve multiplicar o valor deste produto por 0,80 . Por exemplo, um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 . Assim:
COMO FAZER:
- Desconto de 30% = 100% - 30% = 70% = 70/100 = 0,7
- Desconto de 15% = 100% - 15% = 85% = 85/100 = 0,85
- Desconto de 3% = 100% - 3% = 97% = 97/100 = 0,97
- Desconto de 50% = 100% - 50% = 50% = 50/100 = 0,5
Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isto acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão deste tipo.
O erro cometido neste tipo de questão é básico, o de somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.
Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem definidos: Os bancos vem aumentando significativa as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1o semestre de 2009 e de 20% no 2° semestre de 2009. Assim podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas tarifas aumentadas em:
- 50%
- 30%
- 150%
- 56%
- 20%
Ora, estamos falando de acréscimo sucessivo, vamos considerar que a tarifa média mensal de manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:
Após receber um acréscimo de 30% e 10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00
Agora vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009 e 13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60
Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.
Como o valor inicial das tarifas eram de R$ 10,00, concluímos que as mesmas sofreram uma alta de 56% e não de 50% como achávamos anteriormente.
COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:
Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3
- Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3
- Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2
1,3 x 1,2 = 1,56
Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2). Logo as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%
COMO FAZER
Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos afirmar que o valor do produto após a 3a alteração em relação ao preço inicial é:
- 10% maior
- 10 % menor
- Acréscimo superior a 5%
- Desconto de 84%
- Desconto de 16%
Resolução:
- Aumento de 20% = 1,2
- Aumento de 40% = 1,4
- Desconto de 50% = 0,5
Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto). Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:
1 – 0,84 = 0,16
Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial.
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