Juros compostos: valor presente e valor futuro

Agora que já vimos os fundamentos em gestão financeira e também o primeiro cálculo da capitalização simples poderemos trabalhar com exercícios da capitalização composta, o marco divisor de ganhar ou perder muito dinheiro. Vimos que na capitalização simples os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, mas na composta aplicaremos o conceito comumente utilizado nos bancos de “juros sobre juros”.

O quadro a seguir mostra esta ideia:

Quadro 1: Evolução do montante na capitalização composta

Mês	Capital	Taxa	Juros	Montante
1,00	1.500,00	0,07	105,00	1.605,00
2,00	1.605,00	0,07	112,35	171.756,00
3,00	1.717,35	0,07	120,21	1.837,56
4,00	1.837,56	0,07	128,63	1.966,19
5,00	1.966,19	0,07	137,63	2.103,83
6,00	2.103,83	0,07	147,27	2.251,10

Pelo quadro notamos claramente a capitalização sobre o capital acrescido dos juros do período. Se fôssemos usar os mesmos dados para a capitalização simples teríamos uma diferença de R$ 121,10. Isso representa um acréscimo de 5,7 % somente com a mudança na fórmula do cálculo.

O aumento dos juros na composta se dá de forma exponencial. Traduzindo em números teremos a seguinte fórmula:

Equação 1: Montante no regime composto

Se por exemplo tivéssemos um limite de cheque especial de R$ 2.000,00 à taxa de 10 % ao mês e usássemos R$ 1.000,00 por 5 meses teríamos esta conta:

M = C x (1 + i) ⁿ → M = 1000 x (1 + 0,10) ⁵ → M = 1000 x 1, 61051 → M = R$ 1.610,51

O total da dívida alcançaria R$ 1.610,51, ao passo que pelos juros simples não ultrapassaria o total de 1500 reais. A grande diferença está no n exponencial. Este é o causador do Efeito Borboleta na vida daqueles que é enganada ou que sabem usar os juros compostos. No exemplo, em 5 meses houve aumento de 610,51 reais. O fator de acumulação de capital (1 + i) n é o determinando desse aumento.

Podemos ver que se o prazo fosse aumentado para 18 meses o montante chegaria a R$ 5.559,91 e a dívida poderia chegar a 1 milhão de reais em quase 73 meses. Da mesma forma, se a taxa fosse aumentada para 10,5%, o montante iria para R$ 1647, 44, quase 37 reais a mais.

Cálculo do capital

A única diferença da fórmula do capital nos juros compostos para os juros simples é o n ex­ponencial:

Equação 2: Capital inicial no regime composto

A partir desta fórmula poderemos encontrar o valor necessário para um determinado valor no futuro.

Exemplo:

Uma família deseja comprar sua residência própria no valor de R$ 80.000,00 e para tanto resolveu calcular o valor que deve possuir hoje para comprar o imóvel em 5 anos. Considerando que existe uma aplicação disponível que proporciona o rendimento líquido de 0.85 % AM, qual é o capital que deve ser investido?

Conforme o problema, esta família faz o que não é muito comum de se ver – planejar. Geralmente querem guardar pouco e por pouco tempo achando ser suficiente.

Resolução

• Dados:
• C. Reais
• M: R$ 80.000,00
• i: 0,85 % AM
• n: 5 anos = 60 meses

Devemos notar que a taxa continuou ao mês e o período foi alterado. Se fosse a capitalização simples poderíamos mudar a taxa, mas na composta uma vez que o período criou aumentos exponenciais, apenas poderemos modificar a taxa após algumas considerações.

Se a família precisa guardar 48.143,29 reais a 0,85 % ao mês por cinco anos terá o suficiente para comprar a casa. Como é um problema de capitalização composta podemos também resolver diretamente pela calculadora financeira HP12C: digitando cada valor com a respectiva função e pressionando no final a tecla PV.