quinta-feira, 30 de junho de 2016

Noções de Cálculo Atuarial


Em uma linguagem simples, podemos dizer que os cálculos atuariais são uma mistura da Estatística com a Matemática Financeira.
Utilizando a matemática atuarial são determinados, entre outros:
  • valores de rendas (vitalícias ou temporárias) e contribuições em planos de previdência;
  • prêmios de seguros;
  • provisões matemáticas de empresas de previdência, seguros, capitalização e operadoras de saúde;
A matemática atuarial tem notações e uma simbologia própria, que veremos a seguir:


Simbologias e notações

Essas notações são utilizadas universalmente em atuária e demografia:
  • x A idade é representada pela letra x. Fala-se: Um indivíduo de idade x.
  • lx Número de sobreviventes na idade x – l vem o inglês lives, que significa vida ou de living, que significa vivendo ou sobrevivendo.
  • dx Número de falecimentos na idade x – d vem do inglês dead que significa morto.
  • px Probabilidade de vida de uma pessoa com idade x.
  • qx Probabilidade de morte de uma pessoa com idade x.
  • Lx Correspondente ao número de pessoas que tendo completado x anos de idade não completaram ainda x+1 anos de idade.
  • mx Taxa Central de Mortalidade – Relação entre os falecidos entre as idades x e x+1 num certo instante do tempo.
  • I Taxa de juros relativa ao período anual
  • V Valor atual unitário
  • d = Desconto unitário
  • a = valor atual da anuidade unitária
  • A = valor atual de um seguro
  • E = Valor atual de um Dotal Puro
  • P = Premio anual puro


Cálculo Financeiro e Cálculo Atuarial

Cálculo Financeiro

O valor atual de um capital ou de uma série de pagamentos é calculado fazendo o desconto financeiro dos juros de formação desse capital ou capitais.
O esquema abaixo mostra como calcular o valor atual (VA), ou seja, o valor na data zero (ou data focal) de uma série de pagamentos unitários (cada pagamento corresponde a uma unidade monetária):
A fórmula acima pode ser simplificada, pois é uma progressão geométrica (PG) e o valor atual da série de pagamentos unitários pode ser calculada a parte da fórmula de soma dos termos da P.G:
Soma dos termos da P.G:
Onde
Substituindo no exemplo da série unitária:
E utilizando notação atuarial:
Onde


Cálculo Atuarial

O cálculo atuarial, além do desconto financeiro, leva em consideração a probabilidade de morte, ou de sobrevivência. Esse cálculo será demonstrado no exemplo de aplicação abaixo:


Aplicação:
Uma pessoa tem hoje 55 anos e vai receber da entidade de previdência um renda anual de R$ 5.000,00 durante 5 anos. Taxa de juros de 6% ao ano e tábua de mortalidade AT2000 (Básica) Masculina:
A) Quanto a entidade tem que contabilizar no seu passivo se a renda for certa (somente financeira), ou seja, mesmo que o segurado faleça, o pagamento é devido?
B) Quanto a entidade tem que contabilizar no seu passivo se a renda for atuarial, ou seja, o pagamento só é feito enquanto o segurado estiver vivo?
Resposta:
A) Na renda certa o desconto é somente financeiro:
  • 5.000 x VA=
  • 5.000 x 4,2124 = 21.061,82
Onde
B) A renda atuarial leva em consideração a probabilidade de sobrevivência, de acordo com a tábua de sobrevivência, AT 2000:
O valor Atual de uma renda temporária (de 5 anos) para uma pessoa de 55 anos é calculado assim:
  • O cálculo acima foi feito utilizando a tabela de comutações, que veremos em detalhes mais a frente.
  • Os valores de Nx e Dx estão na tabela de comutações no Apêndice.

Observe que considerando o risco de mortalidade o valor do passivo é menor.