Noções de Cálculo Atuarial

Em uma linguagem simples, podemos dizer que os cálculos atuariais são uma mistura da Estatística com a Matemática Financeira.

Utilizando a matemática atuarial são determinados, entre outros:

• valores de rendas (vitalícias ou temporárias) e contribuições em planos de previdência;
• prêmios de seguros;
• provisões matemáticas de empresas de previdência, seguros, capitalização e operadoras de saúde;

A matemática atuarial tem notações e uma simbologia própria, que veremos a seguir:

Simbologias e notações

Essas notações são utilizadas universalmente em atuária e demografia:

• x A idade é representada pela letra x. Fala-se: Um indivíduo de idade x.
• lx Número de sobreviventes na idade x – l vem o inglês lives, que significa vida ou de living, que significa vivendo ou sobrevivendo.
• dx Número de falecimentos na idade x – d vem do inglês dead que significa morto.
• px Probabilidade de vida de uma pessoa com idade x.
• qx Probabilidade de morte de uma pessoa com idade x.
• Lx Correspondente ao número de pessoas que tendo completado x anos de idade não completaram ainda x+1 anos de idade.
• mx Taxa Central de Mortalidade – Relação entre os falecidos entre as idades x e x+1 num certo instante do tempo.

• I Taxa de juros relativa ao período anual
• V Valor atual unitário
• d = Desconto unitário
• a = valor atual da anuidade unitária
• A = valor atual de um seguro
• E = Valor atual de um Dotal Puro
• P = Premio anual puro

Cálculo Financeiro e Cálculo Atuarial

Cálculo Financeiro

O valor atual de um capital ou de uma série de pagamentos é calculado fazendo o desconto financeiro dos juros de formação desse capital ou capitais.

O esquema abaixo mostra como calcular o valor atual (VA), ou seja, o valor na data zero (ou data focal) de uma série de pagamentos unitários (cada pagamento corresponde a uma unidade monetária):

A fórmula acima pode ser simplificada, pois é uma progressão geométrica (PG) e o valor atual da série de pagamentos unitários pode ser calculada a parte da fórmula de soma dos termos da P.G:

Soma dos termos da P.G:

Onde

Substituindo no exemplo da série unitária:

E utilizando notação atuarial:

Onde

Cálculo Atuarial

O cálculo atuarial, além do desconto financeiro, leva em consideração a probabilidade de morte, ou de sobrevivência. Esse cálculo será demonstrado no exemplo de aplicação abaixo:

Aplicação:

Uma pessoa tem hoje 55 anos e vai receber da entidade de previdência um renda anual de R$ 5.000,00 durante 5 anos. Taxa de juros de 6% ao ano e tábua de mortalidade AT2000 (Básica) Masculina:

A) Quanto a entidade tem que contabilizar no seu passivo se a renda for certa (somente financeira), ou seja, mesmo que o segurado faleça, o pagamento é devido?

B) Quanto a entidade tem que contabilizar no seu passivo se a renda for atuarial, ou seja, o pagamento só é feito enquanto o segurado estiver vivo?

Resposta:

A) Na renda certa o desconto é somente financeiro:

• 5.000 x VA=
• 5.000 x 4,2124 = 21.061,82

Onde

B) A renda atuarial leva em consideração a probabilidade de sobrevivência, de acordo com a tábua de sobrevivência, AT 2000:

O valor Atual de uma renda temporária (de 5 anos) para uma pessoa de 55 anos é calculado assim:

• O cálculo acima foi feito utilizando a tabela de comutações, que veremos em detalhes mais a frente.
• Os valores de Nx e Dx estão na tabela de comutações no Apêndice.

Observe que considerando o risco de mortalidade o valor do passivo é menor.