quinta-feira, 18 de agosto de 2016

Exercício sobre matemática financeira


Uma prática no mercado é definir uma taxa de juros anual nominal com capitalização mensal. Ou seja, para se calcular a taxa de juros proporcional mensal (juros simples), divide-se a taxa de juros anual por doze meses. Naturalmente que a taxa de juros efetiva anual (juros compostos) a rentabilidade obtida, de fato, é calculada com a composição das taxas dos juros proporcionais por doze meses. Assim, supondo que um título ofereça 6% de rendimento com a capitalização mensal, pede-se:

  • Calcular a taxa de juros proporcional mensal.
  • Calcular a taxa de juros efetiva anual.
  • Se o valor aplicado é de R$ 800,00, qual seria a quantia disponível para resgate ao final de um ano?
  • Se o valor apurado é de R$ 800,00, qual seria a quantia disponível ao final de oito meses?
Resolução
Para a resolução desta questão vamos definir alguns tamanhos da taxa i para os diferentes períodos de tempo, a saber:
  • Taxa efetiva Proporcional para o período de um ano:
  • Taxa anual: 1 período de um ano (ia = 1);
  • Taxa semestral: contém 2 períodos de um semestre cada um (1 ia =2 is);
  • Taxa trimestral: contém 4 trimestres (1 ia = 4 it);
  • Taxa mensal: contém 12 meses (1 ia = 12 im) e;
  • Taxa diária: contém 360 dias comerciais (1 ia = 360 id).
Assim podemos montar a seguinte equação para a resolução dos questionamentos propostos, conforme indica a Matemática Financeira:
Então, podemos responder á primeira questão, que se referia a qual a taxa de juros proporcional mensal:
Dados: i anual = 6% ao ano e i mensal = ?
Calculando pelos juros simples temos que:
0,5% ao mês
Logo, a taxa de juros mensal proporcional mensal a uma taxa de 6% é de 0,5% ao mês. Esta é de fato o que chama-se de taxa efetiva.


A segunda questão pede o cálculo dos juros efetivos anuais. Então podemos perguntar: mas se a taxa de juros já é anual, por que então pedir novamente a mesma taxa anual? Pois é aí que está o pulo do gato dos juros compostos nos contratos de empréstimos e financiamentos bancários: a diferenciação entre a taxa de juros efetiva e proporcional. Para responder vamos definir duas coisas: a taxa de juros dada é uma taxa equivalente, e não a taxa efetiva (real) utilizada. Ou seja, a taxa dada é apenas de título, não é a mesma se for calculada por juros compostos.
Assim podemos satisfazer à questão com o seguinte cálculo:
Logo, temos que a taxa anual efetiva é de 0,061677812 ao ano, que transformada em percentual (multiplicada por 100) torna-se 6,167781186 % ao ano.
A terceira solicitação é calcular o valor de resgate (montante ou valor futuro) para uma aplicação de R$ 800,00, às taxas calculadas, após um ano. Para iniciar a questão vamos destacar quais são os dados que dispomos até o momento:
  • PV =R$ 800,00
  • Taxa anual efetiva = 6,168% ao ano
  • Valor futuro= ?
  • Período = 1 ano
  • Taxa mensal = 0,5% ao mês
E valos aos cálculos usando as fórmulas básicas de juros da matemática financeira que apresentamos aqui, tanto para o período de um ano inteiro como para doze meses correntes no ano, para provar que dá para chegar ao mesmo resultado nos dois modos:




E para provar que o resultado será o mesmo usando o período de 12 meses em vez de um ano temos o seguinte:




E com isso chegamos ao resultado de um valor de resgate de R$ 849,34.


Por último vamos calcular a partir do valor presente (valor inicial ou de capital), de R$ 800,00, o montante num período mensal, algo semelhante ao anterior:
  • PV =R$ 800,00
  • Valor futuro= ?
  • Período = 8 meses
  • Taxa mensal = 0,5% ao mês
Aplicando os dados à fórmula atualizada temos o seguinte:




E concluímos o exercício com o resultado de R$ 832,57 de resgate após 8 menes de uma aplicação a taxa de 0,5% ao mês.

Com isso terminamos esse primeiro exercício de matemática financeira, para dar início à parte mais prática da matéria de Intermediação Financeira.