Compra de
um ativo pré que vence no dia de vencimento do contrato futuro de DI
na BM&F:
Valor do
principal: R$ 1.478.412,68.
O risco é
a taxa subir, portanto deve-se comprar taxa na BM&F (o que
equivale a se vender PU).
Valor de
resgate do ativo: R$ 1.478.412,68 * ( 1 + 19% ) ^ ( 21 / 252 ) = R$
1.500.00,00.
Quantidade
de contratos necessários para o hedge:
2.1)
cada contrato na BM&F vale 100.000 pontos;
2.2)
cada ponto vale R$ 1,00.
portanto,
cada contrato vale R$ 100.000,00.
Quantidade
de contratos = Q = R$ 1.500.000,00 / R$ 100.000,00 = 15 contratos.
Três
cenários podem ocorrer:
1º)
CDIcetip < 19,00% aa => 10,00% aa;
2º)
CDIcetip = 19,00% aa;
3º)
CDIcetip > 19,00% aa => 20,00% aa.
1º)
cenário: CDI cetip < 19,00% aa => 10,00% aa
Valor de
resgate do ativo........................1.478.412,68 * ( 1 + 19% ) ^
( 21 / 252 ) = R$ 1.500.00,00
compra de
taxa = 19,00% aa252 =>venda de PU:
100.000,00/(1,19)^(21/252)
= 98.560,85
98.560,85*(1,1)^(21/252)
= 99.346,79
resultado
BM&F= (-)
9.798,25........................................................................(-)
R$ 9.798,25
resultado
final = (+) R$ 1.490.201,75
Montante
do principal aplicado em DI: 1.478.412,68 * ( 1 + 10% ) ^ ( 21 / 252
) = R$ 1.490.201,75,
portanto,
o ativo ficou vinculado ao DI.
2º)
cenário: CDI cetip = 19,00% aa
Valor de
resgate do ativo: 1.478.412,68*(1+19%)^(21/252)=
R$ 1.500.00,00
compra de
taxa = 19,00% aa 252 =>venda de PU:
100.000,00
/ ( 1,19 ) ^ ( 21 / 252 ) = 98.560,85
98.560,85
* ( 1,19 ) ^ ( 21 / 252 ) = 100.000,00
resultado
BM&F=
0,00.................................................R$ 0,00
resultado
final= (+) R$ 1.500.00,00
Montante
do principal aplicado em DI: 1.478.412,68*(1+19%)^(21/252)= R$
1.500.000,00, portanto, o ativo ficou vinculado ao DI.
3º)
cenário: CDI cetip = 20,00% aa
Valor de
resgate do ativo: 1.478.412,68*(1+19%)^(21/252)= R$ 1.500.00,00
compra de
taxa = 19,00% aa252 =>venda de PU:
100.000,00/(1,19)^(21/252)
= 98.560,85
98.560,85*(1,20)^(21/252)=
100.069,76
resultado
BM&F= (+)
1.046,40................................................R$ 1.046,40
resultado
final= (+) R$ 1.501.046,40
Montante
do principal aplicado em DI: 1.478.412,68*(1+20%)^(21/252)= R$
1.501.046,40, portanto, o ativo ficou vinculado ao DI.
O
que geralmente ocorre é o vencimento do ativo não coincidir com o
vencimento do DI futuro, mas se situar entre dois vencimentos.
Para
minimizarmos o risco de a taxa, por exemplo, subir devemos comprar
uma certa quantidade – em taxa – Q1 e outra quantidade – em
taxa – Q2 de contratos anteriores e posteriores ao vencimento da
nossa posição ativada em pré.
Nós
administramos um fundo de investimento financeiro. Os bancos com quem
podemos operar já estão todos com os seus limites tomados. Em vista
disso, compramos, em 5/8, por meio do nosso dealer, 1.500 LTN
– Letra do Tesouro Nacional – que possui taxa pré-fixada e valor
de resgate de R$ 1.000,00, cujo vencimento é em 11/9.
A compra
foi feita com taxa baseada nos contratos futuros de DI da BM&F em
5/8:
Taxa
negociada para 1/9 = 19,00% aa252.
Taxa
negociada para 1/10 = 20,00% aa252.
Tx
setembro = { [ (1,20)^(40/252) / (1,19)^(19/252) ]^(252/21) –
1}*100 =20,91% aa
Tx de
5/8→11/9={ [ (1,19)^(19/252)*(1,2091)^(7/252) ]^(252/26) –
1}*100=19,51% aa
Sabendo-se
que a taxa é de 19,51% aa compramos a LTN por 20,15% aa.
O nosso
risco é a taxa subir. Para diminuí-lo vamos comprar taxa na BM&F.
Temos até
agora a seguinte situação:
Compramos
1.500 LTN por 20,15% aa, com 26 overs e vencimento em 11/9,
portanto entre dois vencimentos de contratos futuros de DI;
PU de
compra = 1.000/(1,2015)^(26/252) = 981,23838982;
Valor da
compra = Qcomprada * PUcompra = 1.500*981,23838982 = 1.471.857,58;
Taxa média
para setembro = 20,91% aa.
A
quantidade total de contratos a serem comprados (Q) de 1/9 (Q1) e de
1/10 (Q2) é a seguinte:
Q = Q1 +
Q2 = 1.500.000 / 100.000 = 15 contratos.
Vamos
imaginar que o diagrama acima é uma balança, onde o primeiro braço
“mede” 7 overs e o segundo braço 14 overs. Para a
balança estar equilibrada o “peso” na ponta do primeiro braço
(1/9) deverá ser maior do que o da ponta do segundo braço (1/10).
Se os contratos futuros de DI (para 1/9 e 1/10) tivessem a mesma
“densidade” teríamos a seguinte proporção:
Quantidade
de 1/9 = Q’1 = 15*(14/21)
Quantidade
de 1/10= Q’2 = 15*(7/21)
15 é o
número total de contratos;
14 é o
número de overs do segundo braço (de 11/9 até 1/10);
7 é o
número de overs do primeiro braço (de 1/9 até 11/9);
21 é o
número de overs de 1/9 até 1/10, isto é, dos dois braços.
Todavia
os contratos não têm a mesma “densidade”, logo deveremos
apropriar suas características em Q’1 e Q’2 para obtermos Q1 e
Q2, para Q1 + Q2 = Q = 15 contratos.
Supondo
que estou hedgeado em 11/9 para “chegar“ em 1/9 devo
“desagiar“ a parte do hedge referente a 1/9. Da mesma
forma devo “agiar” a parte do hedge relativa a 1/10. A
taxa que devemos considerar é a de setembro, ou seja, 20,91% aa.
Q1 =
15*(14/21) / (1,2091)^(7/252) = 9,95 = 10 contratos
Q2 =
15*(7/21) * (1,2091)^(14/252) = 5,05 = 5 contratos
Determinamos
as quantidades dos contratos que devemos comprar para ficarmos mais
“confortáveis” com o nosso título pré em relação a uma
subida de taxa.
●Compramos
10 contratos 1/9 a 19,00% aa => PU = 100.000 / (1,19) ^ (19/252) =
98.697,01
●Compramos
5 contratos 1/10 a 20,00% aa => PU = 100.000 / (1,20) ^ (40/252) =
97.147,48
Vamos
agora considerar que a taxa variou de 5/8 até 11/9 em 21,00%aa, ou
seja, superior a taxa de compra da LTN que foi de 20,15% aa.
1.471.857,58
* (1,21) ^ (26/252) = 1.501.091,40
valor de
resgate da LTN em 11/9 = 1.500.000,00
c) de 5/8
até 1/9 – 19 overs = 20,00% aa
de 1/9
até 11/9 – 7 overs = 23,75% aa
de 5/8
até 11/9 – 40 overs = 21,00% aa
resultado
do vencimento 1/9:
98.697,01*(1,20)^(19/252)
= 100.063,11
63,11*10contratos
= 631,10
Aplicação
de 631,10 de 1/9 até 11/9=> 631,1*(1,2375)^(7/252) = 634,85
resultado
do vencimento 1/10 (cuja “zeragem” da posição comprada se deu
em 11/9):
97.147,48*(1,20)^(18/252)*(1,2375)^(7/252)
= 99.076,86
97.147,48*(1,20)^(26/252)
= 98.992,21
O
método aqui apresentado não é exato, o hedge não foi
perfeito, entretanto diminuiu a “perda” de R$ 1.091,40 para R$
33,30. Também não consideramos outras variáveis que podem
interferir no resultado.
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