Nesta
postagem apresentaremos alguns cálculos estatísticos envolvendo
conceitos de médias, desvio padrão, estimação linear, efetuados
com a calculadora financeira HP 12C.
Para
começar, antes, citaremos aqui algumas funções da calculadora e do
ambiente probabilístico:
Acumulando Estatísticas
A
HP – 12C pode realizar cálculos estatísticos com uma ou duas
varáveis, Os dados são introduzidos na calculadora usando-se a
tecla do somatório+, a qual automaticamente calcula estatísticas
dos dados e as armazena nos registradores R1 e R6. (Tais
registradores serão doravante denominados “registradores
estatísticos”).
Antes
de começar a acumular estatísticas para um novo conjunto de dados,
você deve apagar os registradores estatísticos, pressionando f
CLEAR somatório.*
Nos
cálculos estatísticos com uma variável, para introduzir cada dado,
denominado “o valor de x”,
introduza o x
no visor e então pressione o
somatório.
Nos
cálculos estatísticos com duas variáveis, para introduzir cada par
de dados, denominados “o valor de x
e o valor de y”:
*Esta
operação também apaga os registradores da pilha operacional e o
visor.
-
Introduza o y no visor.
-
Pressione ENTER.
-
Introduza o x no visor.
-
Pressione o somatório+.
Cada
vez que você pressionar somatório+, a calculadora fará o
seguinte:
-
O conteúdo R1 será incrementado de uma unidade, e o resultado será copiado no visos.
-
O valor de x será adicionado ao conteúdo de R2.
-
O valor de x ao quadro será adicionado ao conteúdo de R3.
-
O valor de y será adicionado ao conteúdo de R4.
-
O valor de y ao quadrado será adicionado ao conteúdo de R5.
-
O produto dos valores de x e y será adicionado ao conteúdo de R6.
A
tabela abaixo mostra como as estatísticas acumuladas são
armazenadas.
Se
você descobrir que introduziu dados incorretos, as estatísticas
acumuladas podem ser facilmente corrigidas:
Se
o dado (ou par de dados) tiver acabado de ser introduzido, e
somatório+ tiver sido pressionada, pressione g LSTx
g somatório–.
Se
o dado (ou par de dados) não for o mais recentemente introduzido,
introduza o dado (ou par de dados) incorretos novamente, como
se fosse um novo dado, e então pressione g somatório–,
ao invés de somatório+.
Tal
procedimento cancela o efeito do dado (ou par de dados) incorreto.
Basta agora introduzir o dado corretamente, usando somatório+
como se fosse um novo dado.
Média
Ao
se pressionar g
x
com barra em cima
calcula-se
as médias (médias aritméticas) dos valores de x
(x
com barra em cima)
e dos valores de y
(y
com barra em cima)
. A média dos valores de yx
aparece no visor assim que x
com barra em cima
é pressionada; para apresentar a média dos valores de y,
pressione x
maior
ou menor
y.
Exemplo:
Uma
pesquisa feita com sete vendedores de sua empresa revelou dados
constantes na tabela dada a seguir. Quantas horas trabalha um
vendedor, em média, por semana? Quanto ele vende, em média, por
mês?
Para
calcular as médias das horas trabalhadas e das vendas desta amostra:
Ao
se pressionar g
s
calcula-se o desvio padrão do valores x
(sx)
e dos valores de y
(sy).
(O desvio padrão do valores de x
aparece no visor assim que s
é pressionada; para apresentar o desvio padrão dos valores de y,
pressione x
y.
Exemplo:
Para
calcular os desvios padrão dos valores de x
e de y
do exemplo anterior:
|
PRESSIONE |
VISOR |
O
QUE ACONTECE |
|
g
s |
482.06 |
Desvio
padrão de vendas. |
|
x
maior menor y |
6.03 |
Desvio
padrão das horas trabalhadas. |
Estando
acumuladas as estatísticas de duas variáveis nos registradores
estatísticos, você pode estimar um novo valor de y
(y),
a partir de um novo valor de x,
e estimar um novo valor de x
(xˆ)
a partir de um novo valor de y.
Para
calcular yˆ
:
Introduza
um novo valor de x.
Pressione
g
yˆ
, r
.
Para
calcular xˆ
:
Introduza
um novo valor de y.
Pressione
g
xˆ
, r
.
Exemplo:
Usando
os dados estatísticos acumulados no exemplo precedente, estime o
valor das vendas de um novo vendedor que trabalhe 48 horas por
semana.
|
PRESSIONE |
VISOR |
O
QUE ACONTECE |
|
48
g xˆ
, r
|
2,881.89 |
Valor
estimado das vendas em 48 horas de trabalho por semana |
A
confiabilidade de uma estimativa linear depende da proximidade do
ajuste dos pares de dados a uma reta, se traçados num gráfico. A
medida mais comum dessa confiabilidade é o coeficiente de
correlação, r.
Este valor é automaticamente calculado toda vez que y
é calculado; para apresentá-lo, basta pressionar x y. Se o
coeficiente de correlação estiver muito próximo de +1 ou de –1 ,
isso indicará que os dados se ajustam muito bem a uma reta. Por
outro lado, um coeficiente de correlação próximo de zero indica
que os pares de dados não se ajustam a uma rena; e,
consequentemente, que uma estimativa linear, usando tais dados não
será muito confiável.
Exemplo:
Verifique
a confiabilidade da estimativa linear no exemplo anterior,
apresentando a coeficiente de correlação.
|
PRESSIONE |
VISOR |
O
QUE ACONTECE |
|
x
y |
0.90 |
O
coeficiente de correlação é próximo de 1, de modo que a
venda calculada no exemplo anterior se constitui numa boa
estimativa. |
Você
pode calcular a média ponderada de um conjunto de números se você
conhecer os pesos de cada um dos itens em questão.
Pressione
f CLEAR somatório.
Introduza
o valor do item, pressione ENTER , introduza seu peso e pressione
somatório+ . Introduza o valor do segundo item, pressione ENTER ,
introduza o segundo peso e pressione somatório+ . Prossiga até
introduzir todos os valores dos itens e seus pesos correspondentes. A
regra para introdução dos dados é “item ENTER peso
somatório+”.
Pressione
g x
w para calcular a média
ponderada dos itens.
Exemplo:
Suponha
que durante uma viagem de férias à praia você tenha parado em
quatro restaurantes e comido seu prato favorito: camarões. O consumo
e o custo unitário em cada restaurante foi o seguinte: 15
camarões a
R$
116,00 cada um, 7 a R$ 124,00, 10 a R$ 120,00 e 17 a R$ 118,00. Você
deseja calcular o custo médio de cada camarão consumido. Se você
tivesse comprado a mesma quantidade de camarões em cada restaurante,
bastaria usar a tecla x com traço em cima e calcular uma média aritmética simples. Como você sabe o valor
de cada Item (camarão) e seu peso correspondente (número de
camarões consumidos), use a tecla xy com traço em cima para determinar a média ponderada:
|
PRESSIONE |
VISOR |
O
QUE ACONTECE |
|
f
CLEAR somatório |
0.00 |
Apaga
os registradores estatísticos. |
|
116
ENTER 15
somatório+ |
1.00 |
Primeiro
item e seu peso. |
|
124
ENTER 7
somatório+ |
2.00 |
Segundo
item e seu peso. |
|
120
ENTER 10
somatório+ |
3.00 |
Terceiro
item e seu peso. |
|
118
ENTER 17
somatório+ |
4.00 |
Quarto
item e seu peso. |
g
|
118.65 |
Média
ponderada do custo de cada camarão. |
EXERCÍCIOS
Calcule
a média aritmética da série: X
: 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30.
Resposta:
12,5
Calcule
a média aritmética da série: Y :
5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.
Resposta:
9,857
Calcule
a média aritmética da série: Z :
3,4; 7,8; 9,23; 12,15.
Resposta:
8,145
Um
produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades.
O lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos.
Se
as unidades que compõe determinado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5,0; 3,5;
4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do
produto?
Resposta:
Sim. 4,25
Um
produto é vendido em três supermercados por $ 13,00/kg, $ 13,20/kg
e $ 13,50/kg. Determine quantos $/kg se paga em média pelo produto.
Resposta:
13,23 kg/$
Um
produto é vendido em três supermercados por $ 130/kg, $ 132/kg e $
135/kg. Determine, em média quantos quilos do produto se compra com
$ 1,00.
Resposta:
0,0075585 kg/$
Calcule
a média aritmética da série:
-
xi
fi
2
1
3
4
4
3
5
2
Resposta:
3,6
Uma
loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade
comercializada destes produtos vale respectivamente $ 200,00; $
300,00; $ 500,00; $ 1.000,00; $ 5.000,00. A loja vendeu em
determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades respectivamente. Qual foi
o lucro médio por unidade comercializada por esta loja?
Resposta:
682,35/peça
Um
caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas
de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800
caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de
cobertura da carga pesa 50 kg. a)
Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite
passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este
caminhão passará pela balança? b)
Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
Resposta:
a)
Não b)
6,385/kg
Calcule
a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de
determinada Faculdade, em anos.
-
Idade (anos) xi
N.º de Alunos fi
17
3
18
18
19
17
20
8
21
4
Resposta:
18,84 anos/aluno
O
salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído
segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes
funcionários
-
Classe
Salários $
N.º de funcionários fi
1
400,00- 500,00
12
2
500,00- 600,00
15
3
600,00- 700,00
8
4
700,00- 800,00
3
5
800,00- 900,00
1
6
900,00 - 1.000,00
1
Resposta:
$ 572,5/f
Uma
empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um
levantamento do consumo de seu principal produto em vários
supermercados obtendo em determinado mês, a tabela:
-
Classe
Número de Unidades Consumidas
N.º de Supermercados fi
1
0 - 1.000,00
10
2
1 .000,00 - 2.000,00
50
3
2 .000,00 - 3.000,00
200
4
3 .000,00 - 4.000,00
320
5
4 .000,00 - 5.000,00
150
6
5 .000,00 - 6.000,00
30
Determine
o consumo médio deste produto por supermercado pesquisado.
Resposta:
3.342,1 unid.
Uma
pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para
animais, em termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que
a ração normal foi substituída pela nova ração, os animais
apresentaram um aumento de peso segundo a tabela:
-
Classe
Aumento de Peso em kg
N.º de Animais fi
1
0- 1
1
2
1- 2
5
3
2- 3
35
4
3- 4
37
5
4- 5
28
Calcular
o aumento médio de peso por animal.
Resposta:
3,311/kg
Se
a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento
médio de peso de 3.100 kg/animal, esta nova ração pode a princípio
ser considerada mais eficiente?
Resposta:
Sim
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